Thèmes

• Les thématiques qui portent sur les liens entre la mécanique et la géométrie sont nombreuses, on peut citer par exemple :

• Calcul effectif des invariants, anisotropie, paramétrisation des classes d’isotropie et stratification.

• Lois de comportement et groupe de symétrie.

• Espace des jets, groupes de symétrie des EDP de la mécanique, lois de conservation et réduction.

• Méthode d’équivalence de Cartan, repères mobiles et application en mécanique (construction de modèles invariants, schémas numériques invariants et applications aux méthodes de réduction de modèles en mécanique).

• Formulation géométrique de la mécanique:

  • Mécanique multi-symplectique,

  • Géométrie de Riemann-Cartan, géométrie de Finsler et applications à la mécanique des milieux continus généralisé,

  • Structure de Dirac, Q-structure, ..., pour la description des hamiltoniens à ports et de la mécanique des systèmes couplés.

• Intégrabilité, géométrie de Poisson et mécanique.

• Intégrateurs géométriques.

• Groupes de Lie et mécanique des systèmes poly-articulés.

• Vibration, stabilité et formes normales.

Le GDR se propose de centrer une grande partie ses activités autour de 4 axes :

Axe 1 : lois de comportement et invariants (théorie effective des invariants, anisotropie, et lois de comportement en mécanique du solide)

La théorie classique des invariants et de la représentation des groupes intervient dans de nombreux problèmes de mécanique (endommagement, élasticité anisotrope, propagation des ondes dans les bio-matériaux, …) comme le montre la nombreuse littérature mécanique autour de ces sujets. Les outils modernes de géométrie permettent d’apporter des réponses claires à des problèmes de modélisation ayant besoin de la théorie des invariants. Par exemple, jusqu’en 1996, le nombre correct de classes de symétrie en élasticité était inconnu de la communauté mécanique, dû probablement à une mauvaise formulation géométrique du problème. Avant cette date, il y avait un débat pour savoir si le nombre exact était 10 ou 8 (la bonne réponse). Un autre exemple plus récent : la détermination d'un système minimal complet d'invariants du tenseur d'élasticité n’a été définitivement obtenue qu’en 2017 grâce à des outils de géométrie algébrique. Un vieux problème théorique de mécanique, laissé ouvert depuis au moins une quarantaine d'années !

Les travaux récents en mathématiques sur la description effective des espaces d'orbites ont trouvé quelques échos chez les mécaniciens qui utilisent la théorie des invariants pour décrire les lois de comportement des matériaux anisotropes. En retour les problèmes posés par les mécaniciens stimulent des développements de méthodes effectives chez les géomètres.

Axe 2 : géométrie de Poisson, intégrabilité et mécanique  (un vieux problème toujours d'actualité)

De nombreux problèmes de mécanique à un nombre fini de degrés de liberté sont décrits par des systèmes d’équations différentielles hamiltoniens. Un système hamiltonien est dit intégrable, dans un certain sens, s’il admet suffisamment d’intégrales premières indépendantes et en involution. On sait depuis Poincaré, que par exemple, le problème des trois corps (qui modélise une version très simplifiée du système solaire) n’est pas intégrable. La théorie d’intégrabilité s’est développée d’une manière importante depuis les années 60 en bénéficiant des progrès réalisés en géométrie différentielle. En particulier la théorie d’intégrabilité s’est étendue aux équations aux dérivées partielles non linéaires. On a ainsi découvert de nombreuses familles d’équations intégrables (par exemple l'équation de Korteweg-de Vries). Les systèmes intégrables de la mécanique furent alors reconsidérés au travers de nouvelles approches (équations de Lax, r-matrices, courbes spectrales, ...).

Par ailleurs, depuis une vingtaine d'années, il y a eu des développements importants concernant la géométrie de Poisson, une généralisation de la géométrie symplectique, qui est d'une part plus naturelle du point de vue de la mécanique, et qui d'autre part permet de prendre en compte des phénomènes singuliers, comme ceux qui apparaissent dans les réductions (symplectique ou de Poisson) et dans les systèmes possédant des contraintes.. Ces résultats récents ouvrent de nombreuses perspectives pour l’étude des propriétés qualitatives de divers systèmes mécaniques.

Axe 3 : formulation géométrique de la mécanique (géométrie généralisée et graduée pour la mécanique des milieux continus)

La géométrie de Poisson donne un cadre commode pour étudier les systèmes mécaniques conservatifs. Cette approche a permis d’obtenir des résultats profonds sur le comportement qualitatif des systèmes dynamiques et en particulier sur leur stabilité. L'objectif  de ce thème est de traiter des généralisations possibles de cette approche pour les systèmes mécaniques couplés ou dissipatifs (problèmes d’interaction fluide-structure, plasticité, problèmes multi-physiques et multi-échelles, ...). Un défi important est de trouver une formulation géométrique adaptée pour décrire uniformément de tels systèmes afin d’en dégager les propriétés intrinsèques et de développer une discrétisation qui conserve la physique du problème initial.

Depuis une trentaine d’années, les géomètres ont développé de nouvelles structures en géométrie différentielle comme les structures supérieures (« higher structures ») et les super-variétés ou géométrie graduée. On peut citer par exemple les structures multisymplectiques - les analogues “supérieurs” des formes symplectiques; les algébroïdes de Lie qui généralisent les algèbres de Lie; les algébroïdes de Courant-Dorfman qui permettent de définir une structure géométrique riche sur la somme directe du fibré tangent et du fibré cotangent, les structures de Dirac qui généralisent les structures de Poisson, les Q-variétés qui offrent un bon langage pour unifier ces différentes structures. Depuis une dizaine d’année, certaines de ces structures (les structures de Dirac) se sont avérées comme l’outil géométrique naturel permettant d’écrire les systèmes dits hamiltoniens à ports. Ces derniers permettent de traiter dans le même cadre les systèmes mécaniques avec contraintes, les systèmes dissipatifs, couplés et les problèmes de contrôle. Il s’agit d’une approche très prometteuse qui est en plein développement. Décrire la structure géométrique des problèmes de mécanique et en tirer les conséquences qualitatives est au cœur de ce thème.

Axe 4 : intégrateurs géométriques (ou comment construire des schémas numériques qui préservent les propriétés physiques des équations de la mécanique)

Les problèmes de mécanique peuvent être formulés dans le cadre de la géométrie différentielle pour en dégager, d'une manière assez élégante, les propriétés fondamentales comme les intégrales premières (ou lois de conservation), les solutions auto-similaires et les symétries fondamentales. Aussi, il semble avantageux de tirer partie de ce cadre géométrique dans l'écriture des schémas numériques. Les discrétisations qui sont basées sur un formalisme géométrique préservant la structure de l'équation de départ sont dites intégrateurs géométriques. Les intégrateurs géométriques les plus célèbres sont les intégrateurs symplectiques pour les systèmes hamiltoniens Ces intégrateurs « conservent » l'énergie (en réalité, pour les schémas symplectiques l'énergie oscillent autour d'une valeur constante). Aussi, ils possèdent un comportement très stable sur des grands intervalles de temps. C'est cette propriété qui est à l'origine de leur succès dans de nombreuses applications (astronomie, dynamique moléculaire, changement d'échelle de temps, ...).

La classe des intégrateurs géométriques s'est élargie ces dernières années. Il existe maintenant des formalismes géométriques et des intégrateurs associés permettant de traiter des équations aux dérivées partielles assez générales. Nous pouvons citer, les intégrateurs multi-symplectiques, les intégrateurs variationnels, les schémas numériques préservant les symétries de Lie des équations, les discrétisations basées sur le calcul différentiel extérieur, ... Les schémas numériques construits par les approches géométriques sont très performants et ils préservent de nombreuses propriétés mécaniques. Par exemple, les schémas numériques invariants, préservant les symétries de Lie des équations, obtenus par la méthode des repères mobiles d'Elie Cartan, sont robustes et très efficaces pour les grands volumes et les grands intervalles de temps. Ils conservent les solutions auto-similaires du problème de départ. Ils permettent ainsi la capture des chocs dans les problèmes hyperboliques. Ils limitent la présence de solutions parasites non physiques dans le cas d'un maillage mobile, sans nécessité de raffinement important du maillage. Les travaux sur les intégrateurs géométriques connaissent un développement important qui est au cœur des activités du GDR GDM.